Potenzfunktionen

Potenzfunktionen sind Funktionen f, die eine Unbekannte x abbilden auf eine feste Potenz von x oder ein Vielfaches davon. Sie haben also folgende Form:

Dabei ist n eine ganze Zahl und a irgendein Faktor, also eine beliebige, reelle Zahl.
Man unterscheidet die Potenzfunktionen mit geraden Exponenten und die mit ungeraden Exponenten.
Hier kannst du dir anschauen, wie die Graphen der Potenzfunktionen aussehen und wie sie sich verändern: die horizontalen Regler stellen die Exponenten ein, die vertikalen Regler regeln einen Faktor vor der Potenz. Probier es aus!

Untersuche die Potenzfunktionen nun mit Hilfe des Applets genauer:

1. Beschreibe die Form der Potenzfunktion mit deinen eigenen Worten.
2. Beschreibe die Form der Potenzfunktion mit deinen eigenen Worten.
3. Beschreibe die Form der Potenzfunktion mit deinen eigenen Worten.
4. Beschreibe die Form der Potenzfunktion mit deinen eigenen Worten.
5. Beschreibe, wie sich der Graph ändert, wenn der gerade Exponent immer größer wird.
6. Beschreibe, wie sich der Graph ändert, wenn der Faktor (vertikaler Regler) sich ändert.
7. Finde Eigenschaften der Graphen, die bei allen Funktionen gleich sind. Welche Eigenschaften sind nur bei manchen Funktionen, bei manchen nicht? Gibt es gemeinsame Punkte? Von links nach rechts betrachtet, steigen die Graphen? Oder fallen sie? (Monotonie)
   Gibt es Geraden, denen sich die Graphen immer mehr annähern (Asymptoten)?
   Gibt es (Achsen-, Punkt-) Symmetrien bei den Graphen? Bezogen auf welche Achse oder welchen Punkt sind die Graphen symmetrisch?
8. Untersuche die Sonderfälle mit den Exponenten 0 und 1: Du kennst diese Funktionen schon von früher. Um welche Funktionen handelt es sich? Kannst du eine Funktionsgleichung angeben, in der Form, wie du sie von früher kennst?

S. Mänz, 6. Januar 2008, Applets erstellt mit GeoGebra